ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2002-2003 учебный год, 5-й семестр
(54 ч. лекций, 36 ч. семинарских занятий)


Гл.1. Вероятность и ее свойства.

§ 1. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями.
§ 2. Классическое определение вероятности.
§ 3. Элементы комбинаторики. Выборки с возвращением и без. Гипергеометрическое распределение.
§ 4. Геометрическое распределение как непрерывный аналог классической схемы.
§ 5. Аксиоматика теории вероятностей. Вероятность как счетно-аддитивная мера на s-алгебре событий.
§ 6. Условная вероятность. Независимость событий.
§ 7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
§ 8. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами — схема Бернулли.

Гл.2. Случайные величины

§ 1. Определение случайной величины. Функция распределения.
§ 2. Типы распределений случайных величин: дискретные, абсолютно непрерывные, сингулярные. Смеси.
§ 3. Совместное распределение и независимость конечной совокупности случайных величин. Формула свертки.
§ 4. Многомерное гауссовское (нормальное) распределение.
§ 5. Виды сходимостей случайных величин: слабая, по вероятности, в среднем, почти наверное. Лемма Бореля — Кантелли.
§ 6. Моделирование случайных величин. Квантильные преобразования.

Гл.3. Моментные характеристики случайных величин

§ 1. Математическое ожидание как абстрактный интеграл Лебега.
§ 2. Вычисление математического ожидания функций конечного набора случайных величин. Теорема умножения.
§ 3. Моменты второго порядка: дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Неравенство Коши — Буняковского. Ковариационная матрица.
§ 4. Математическое ожидание суммы случайного числа случайных величин — тождество Вальда.
§ 5. Переход к пределу под знаком математического ожидания.

Гл.4. Характеристические функции

§ 1. Определение и свойства характеристической функции.
§ 2. Характеристические функции для основных примеров.
§ 3. Теорема о взаимнооднозначном соответствии между функциями распределения и характеристическими функциями.
§ 4. Формулы обращения. Теорема непрерывности.

Гл.5. Предельные теоремы

§ 1. Неравенство Чебышева и его обобщения.
§ 2. Закон больших чисел.
§ 3. Усиленный закон больших чисел.
§ 4. Теорема Пуассона.
§ 5. Локальная теорема.
§ 6. Центральная предельная теорема.

Гл.6. Принцип больших уклонений

§ 1. Преобразование Лапласа и его свойства.
§ 2. Функция уклонений и ее свойства.
§ 3. Принцип больших уклонений для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин.

Гл.7. Простейшие случайные процессы

§ 1. Цепи Маркова.
§ 2. Пуассоновский и обобщенный пуассоновский процессы.
§ 3. Процессы гибели и размножения.
§ 4. Ветвящиеся процессы.

ПЛАН СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ

  1. Комбинаторика. Классическое определение вероятностей (4 часа).
  2. Геометрические вероятности (2 часа).
  3. Независимые события. Схема Бернулли (2 часа).
  4. Формула полной вероятности. Формула Байеса (2 часа).
  5. Контрольная работа (2 часа).
  6. Распределения и плотности случайных величин. Преобразования случайных величин. Свертка распределений. Многомерные распределения (6 часов).
  7. Числовые характеристики случайных величин (4 часа).
  8. Сходимость случайных величин и распределений (2 часа).
  9. Предельные теоремы (4 часа).
  10. Цепи Маркова (2 часа).
  11. Контрольная работа (2 часа).

ЛИТЕРАТУРА

[1]. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
[2]. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
[3]. Розанов Ю.А. Случайные процессы. Краткий курс. М.: Наука, 1979.
[4]. Коршунов Д.А., Фосс С.Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. Новосибирск. 1997.


Программу составил
профессор                                                             А.А.Могульский

File translated from TEX by TTH, version 2.25.
On 24 Aug 2001, 21:18.