ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

программа для студентов механико-математического факультета
(5 семестр 1999/2000 уч.г.)

  1. Дискретное пространство элементарных исходов. События, операции над ними. Вероятность и ее свойства. Классическое определение вероятности.
  2. Элементы комбинаторики. Выборки с возвращением и без возвращения. Размещение частиц по ячейкам. Гипергеометрическое распределение.
  3. Континуальные вероятностные пространства, примеры. Геометрические вероятности. Задача о встрече.
  4. Вероятностное пространство общего вида. Аксиоматическое задание вероятности, основные свойства вероятности.
  5. Формула для вероятности объединения событий. Независимые события.
  6. Схема Бернулли. Полиномиальное распределение.
  7. Приближение Пуассона для биномиального распределения.
  8. Локальная предельная теорема о нормальном приближении.
  9. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
  10. Случайные величины. Функции распределения и их свойства. Типы распределений: дискретный, абсолютно непрерывный, сингулярный, смеси.
  11. Основные семейства распределений.
  12. Независимость случайных величин и классов событий.
  13. Многомерные распределения и плотности, их основные свойства, примеры.
  14. Преобразования случайных величин. Формула свертки.
  15. Интеграл по вероятностной мере (определение).
  16. Свойства интегралов по вероятностной мере.
  17. Математическое ожидание случайной величины и его свойства, примеры.
  18. Моменты, вопросы их существования. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Примеры.
  19. Коэффициент корреляции и его свойства.
  20. Матрица ковариаций, ее свойства. Многомерное нормальное распределение, определение и свойства.
  21. Математическое ожидание суммы случайного числа слагаемых. Тождество Вальда.
  22. Задача о разорении.
  23. Условное математическое ожидание.
  24. Задача о наилучшем приближении.
  25. Сходимость последовательностей случайных величин. Связь между разными типами сходимости.
  26. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Хинчина.
  27. Усиленный закон больших чисел.
  28. Слабая сходимость распределений, критерий.
  29. Связь слабой сходимости со сходимостью по вероятности. Сходимость математических ожиданий в условиях равномерной интегрируемости. Теорема о мажорируемой сходимости.
  30. Характеристические функции, основные свойства, примеры вычисления.
  31. Формула обращения.
  32. Теорема о непрерывном соответствии.
  33. Центральная предельная теорема, ее следствия, примеры применения. Обобщение на многомерный случай.
  34. Цепи Маркова. Возвратность состояний.
  35. Эргодическая теорема.
  36. Ветвящиеся процессы.
  37. Случайные процессы с непрерывным временем. Процесс Пуассона.
  38. Процессы рождения и гибели. Вывод уравнений. Стационарное решение.
  39. Процессы чистого рождения. Теорема Феллера.
  40. Примеры систем обслуживания.

Л И Т Е Р А Т У Р А

  1. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
  2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
  3. Розанов Ю.А. Случайные процессы. Краткий курс. М.: Наука, 1979.
  4. Д.А.Коршунов, С.Г.Фосс. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. Новосибирск, 1997.

ПЛАН СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ

  1. Комбинаторика. Классическое определение вероятностей (4 часа).
  2. Геометрические вероятности (2 часа).
  3. Независимые события. Схема Бернулли (2 часа).
  4. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса (2 часа).
  5. Контрольная работа (2 часа).
  6. Распределения и плотности случайных величин. Преобразования случайных величин. Свертка распределений. Многомерные распределения (6 часов).
  7. Числовые характеристики случайных величин (4 часа).
  8. Сходимость случайных величин и распределений (2 часа).
  9. Характеристические функции (2 часа).
  10. Предельные теоремы (4 часа).
  11. Контрольная работа (2 часа).
  12. Цепи Маркова (2 часа).

Программу составил

профессор В.И.Лотов