Допуск к дифф. зачету по математической статистике

  1. Пусть с.в. x - число бракованных изделий в коробке из 10 изделий, если вероятность выпуска бракованного изделия равна 0.1.

    1. Нарисовать таблицу распределения с.в. x.
    2. Нарисовать график функции P(x) = P(x = x).
    3. Нарисовать график функции распределения x.
    4. Найти математическое ожидание и дисперсию x.
    5. Найти P(x > 7).
    6. Разложить x в сумму десяти независимых и одинаково распределенных случайных величин. Описать подробно, что это за величины и с каким распределением.

  2. Дискретное двумерное распределение случайного вектора (x,h) задается таблицей, часть данных в которой потеряна:

    h 1 2 5 6
    x
    1 0.06 0.08 0.07
    3 0.14 0.15
    5 0.08 0.06 0.05 0.03

    Известно, что P(x = 1) = 0.25 и P(h = 6) = 0.25.

    1. Заполнить пустые ячейки в таблице совместного распределения и нарисовать таблицы распределения с.в. x и h.
    2. Проверить независимость с.в. x и h.
    3. Найти ковариацию с.в. x и h.
    4. Найти D(x-3h+1).

  3. Пусть x и h - произвольные случайные величины. Выписать формулы для вычисления:
    E(x+h);   E(x-h);    E(x-3h);   D(x+h);    D(x-h);   D(2x-4h+1).

  4. Пусть x1, x2, ј - независимые с.в., имеющие распределение U(2,4).

    1. Найти функцию, плотность распределения и математическое ожидание с.в. max(x1,ј,xn).
    2. Доказать по определению, что max(x1,ј,xn) ®4 по вероятности.
    3. Доказать, что max(x1,ј,xn) ®4 по вероятности, используя связь сходимости по вероятности и по распределению.
    4. Найти функцию, плотность распределения и математическое ожидание с.в. min(x1,ј,xn).
    5. Найти математическое ожидание с.в. [(x1+ј+xn)/ n] и ([(x1+ј+xn)/ n])2.
    6. Выяснить, как себя ведут при n®Ґ последовательности с.в.
      [(x1+ј+xn)/ n], ([(x1+ј+xn)/ n])2, [(x12+ј+xn2)/ n], Цn([(x1+ј+xn)/ n]-3)

  5. Пусть x1, x2, ј - независимые с.в., имеющие распределение E5.

    1. Найти функцию, плотность распределения и математическое ожидание с.в. min(x1,ј,xn).
    2. Доказать по определению, что min(x1,ј,xn) ®0 по вероятности.
    3. Доказать, что min(x1,ј,xn) ®0 по вероятности, используя связь сходимости по вероятности и по распределению.
    4. Найти функцию, плотность распределения и математическое ожидание с.в. max(x1,ј,xn).
    5. Найти математическое ожидание с.в. [(x1+ј+xn)/ n] и ([(x1+ј+xn)/ n])2.
    6. Выяснить, как себя ведут при n®Ґ последовательности с.в.
      [(x1+ј+xn)/ 5n], ([(x1+ј+xn)/ n])2, [(x110+ј+xn10)/ n], Цn([(x1+ј+xn)/ n]-0.2)

  6. Пусть с.в. x имеет распределение E7. Найти распределение с.в. h1 = 7x, h2 = x/7, h3 = x+7, h4 = x-7.

  7. Найти квантили уровней 0.2, 0.5 и 0.95 для распределений а) E2; б) U(3,8); в) N(1,9).

File translated from TEX by TTH, version 1.58.