Программа специального курса

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2002-2003 уч. год, 68 ч. лекций

Глава 1. Вероятностные неравенства

1. Неравенства Чебышева.
2. Экспоненциальные неравенства: неравенство Нагаева – Фука и его следствия, неравенства Петрова, Бернштейна.
3. Неравенства для моментов сумм независимых случайных величин.
4. Неравенства для распределения максимума сумм независимых случайных величин: неравенства Леви, Леви – Колмогорова.
5. Неравенства Колмогорова для распределения максимума сумм независимых случайных величин.
6. Неравенство Леви – Рогозина. Неравенства симметризации.
7. Неравенство Колмогорова – оценка снизу для распределения максимума сумм ограниченных случайных величин.

Глава 2. Законы больших чисел и ряды случайных величин

1. Лемма Бореля – Кантелли.
2. Сходимость почти наверное.
3. Сходимость рядов независимых случайных величин. Классический критерий Колмогорова сходимости рядов. Необходимые и достаточные условия сходимости рядов ограниченных случайных величин. Общие условия сходимости рядов (критерий трех рядов).
4. Усиленный закон больших чисел. Необходимые и достаточные условия выполнения усиленного закона больших чисел для произвольных независимых случайных величин. Усиленный закон больших чисел для одинаково распределенных случайных величин.
5. Оценки скорости сходимости в законах больших чисел.
6. Закон повторного логарифма.

Глава 3. Слабая сходимость распределений независимых случайных величин

1. Характеристические функции и некоторые их свойства.
2. Теорема Пуассона для схемы серий.
3. Закон больших чисел для схемы серий.
4. Необходимые условия сходимости в схеме серий.
5. Условие бесконечной малости.
6. Сближение с сопровождающими законами.
7. Безгранично делимые распределения.
8. Представление Леви – Хинчина для сопровождающих распределений и для безгранично делимых законов.
9. Представление Леви для сопровождающих распределений и для безгранично делимых законов.
10. Сходимость к заданному безгранично делимому распределению.

Литература

[1.] Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 1999.
[2.] Ламперти Дж. Вероятность. М.: Наука, 1973.
[3.] Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.
[4.] Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.
[5.] Ширяев А.Н. Вероятность. М.: МЦНМО, 2004.

Лектор – к.ф.-м.н. Е.А. Бакланов