1.1. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет равномерное распределение на отрезке [0,2], а h — показательное распределение с параметром 1. Найти функцию распределения, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины z = 2x– h.
1.2. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет равномерное на отрезке [–1, 1] распределение, а h имеет биномиальное распределение с параметрами 2 и 1/2. Найти функцию и плотность распределения суммы x+h.
1.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–h, h1=x+2h, и случайные величины x, h — из задачи 1.2.
1.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины ex, если случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [–1, 1].
1.5. Привести пример случайной величины x с плотностью распределения p(x) и непрерывной функции g(x) такой, что g(x) имеет невырожденное дискретное распределение.
2.1. Пусть случайные величины x и h независимы, причем x имеет равномерное на отрезке [–1, 1] распределение, а h имеет показательное распределение с параметром a = 2. Найти функцию и плотность распределения суммы x+h.
2.2. Пусть случайная величина xk имеет показательное распределение с параметром 1/k, где k=1,2,... Случайная величина h имеет распределение Пуассона с параметром l и не зависит от последовательности {xk}. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины xh+1.
2.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–2h, h1=x+h, и случайные величины x, h — из задачи 2.1.
2.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины e–x, если случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [0,2].
2.5. Привести пример распределения, для которого не существуют моменты Exk ни при каком k=+1,+2,....
3.1. Пусть случайные величины x и h независимы, причем x имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение, а h имеет показательное распределение с параметром 4 Найти функцию и плотность распределения случайной величины x–2h.
3.2. Случайные величины x, h, j независимы, причем j имеет распределение Бернулли с параметром p, x и h равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины jmax(x,h) + (1 – j) min(x,h).
3.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–2h, h1=h+1, и случайные величины x, h — из задачи 3.1.
3.4. Независимые случайные величины x и h имеют стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения случайной величины exp{|x– h|}.
3.5. Пусть случайная величина x имеет абсолютно непрерывное распределение. Имеют ли случайные величины x и 2x абсолютно непрерывное совместное распределение?
4.1. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1], а h — показательное распределение с параметром 1. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины z = x– 2h.
4.2. Пусть x1, x2,... — независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение. Величины x1, x2,... наблюдаются поочередно. Пусть n — номер первой случайной величины, значение которой положительно. Найти E n.
4.3. Правильная монета подбрасывается n раз. Найти коэффициент корреляции и ковариацию числа выпадений герба и числа выпадений решки.
4.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины e|x–1|, если случайная величина x имеет показательное распределение с параметром 2.
4.5. Пусть F(x) и G(x) — функции распределения. Являются ли функциями распределения следующие функции: а) F(x)+G(x); б) (F(x)+G(x))/2; в) F(x–3)·G(x+4); г) F5(x)?
Если «да», указать, как построить случайные величины с такими функциями распределения.
5.1. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет показательное распределение с параметром 4, h имеет равномерное на отрезке [–1, 1] распределение. Найти функцию и плотность распределения разности x–h.
5.2. Пусть случайная величина xk имеет показательное распределение с параметром 1/k, где k=1,2,... Cлучайная величина h имеет геометрическое распределение с параметром p и не зависит от последовательности {xk}. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины xh.
5.3. На отрезок [0, 1] брошены наудачу и независимо друг от друга две точки. Найти коэффициент корреляции координат левой и правой точек.
5.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины e–x, если случайная величина x имеет показательное с параметром 2 распределение.
5.5. На отрезке [0, 1] с сигма-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега заданы случайные величины x(w)=[2w] и h(w)=[4w] ([x] — целая часть x). Измерима ли x относительно s-алгебры, порожденой h? Измерима ли h относительно s-алгебры, порожденой x?
6.1. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет показательное распределение с параметром 2, h имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение. Найти функцию распределения, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины x–2h.
6.2. Случайные величины x, h, j независимы, причем j имеет распределение Бернулли с параметром p, x и h равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти функцию распределения случайной величины jx+ (1 – j) max(x,h).
6.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–2h, h1=x+h, и случайные величины x, h — из задачи 6.1.
6.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины ex, если случайная величина x имеет равномерное на отрезке [1,2] распределение.
6.5. Привести пример дискретного распределения, для которого E(x)–1=(Ex)–1.
7.1. Пусть случайные величины x и h независимы и имеют показательное с параметром 4 распределение. Найти функцию и плотность распределения разности x–2h.
7.2. Пусть случайные величины x и h независимы, причем x имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение, а h принимает значения 0, 1 и 2 с равными вероятностями. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию суммы x+h.
7.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–2h, h1=2x+h, и случайные величины x, h — из задачи 7.1.
7.4. Найти функцию распределения случайной величины lnx, если случайная величина x имеет равномерное на отрезке [0,2] распределение.
7.5. Выяснить, при каких a существует момент Eex, если x имеет показательное распределение с параметром a.
8.1. Пусть случайные величины x и h независимы, x имеет показательное распределение с параметром 2, h распределена равномерно на отрезке [0,2]. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины x– h.
8.2. Случайные величины x, h, j независимы, причем j имеет распределение Бернулли с параметром p, x и h равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти функцию распределения случайной величины jx+ (1 – j) min(2x,h).
8.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x–h, h1=x+2h, и случайные величины x, h — из задачи 8.1.
8.4. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины e–x, если случайная величина x имеет показательное с параметром 1 распределение.
8.5. Случайные величины x и h независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Доказать, что случайные величины min(x,h) и |x–h| одинаково распределены.
9.1. Пусть случайные величины x и h независимы. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию суммы x+h, если x имеет показательное распределение с параметром 1, а h имеет равномерное распределение на отрезке [–1, 0].
9.2. Пусть x и h — независимые случайные величины, причем x имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение, а h имеет биномиальное распределение с параметрами 2 и 1/3. Найти функцию и плотность распределения разности x–h.
9.3. Найти коэффициент корреляции r(x1,h1), где x1=x+h, h1=x–2h, и случайные величины x, h — из задачи 9.1.
9.4. Найти плотность распределения и математическое ожидание случайной величины x3, где случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение.
9.5. Точка брошена наудачу в полукруг {x2+y2 ≤ 1, x ≥ 0}. Доказать, что координаты точки зависимы.