To chair's page

© N.Chernova, 2001

Вторая контрольная работа по теории вероятностей
1-й вариант 2001 года
для студентов 1 курса ЭФ

  1. Случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами a = -1, s2 = 4. Найти плотность распределения случайной величины h = 1-2x. Найти дисперсию Dh.

  2. Случайная величина x имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вида fx(t) = ct при 0 < t < 5, fx(t) = 0 при t не принадлежащих (0, 5). Вычислить постоянную c и найти
    а) функцию распределения случайной величины h1 = {x} (дробная часть x),
    б) т а б л и ц у распределения случайной величины h2 = [x] (целая часть x).

  3. При одном выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,2 независимо от результатов других выстрелов. Случайная величина x равна количеству попаданий после трех выстрелов, а случайная величина h равна единице, если при первом выстреле произошло попадание, и равна нулю иначе.

    а) Построить таблицу совместного распределения x и h.
    б) Найти коэффициент корреляции величин x и h.
    в) Нарисовать график функции распределения случайной величины h.

  4. Независимые, одинаково распределенные случайные величины x1, ..., xn имеют равномерное распределение на отрезке [1, 2]. Найти функции распределения и математические ожидания случайных величин max{x1,...,xn} и min{x1,...,xn}.

  5. Независимые, одинаково распределенные случайные величины x1, ..., xn имеют показательное распределение с параметром a = 2.
    а) При каких вещественных l существует Eexp{lx1}?
    б) Найти математическое ожидание случайной величины min{x1,...,xn}-3.

  6. Случайная величина x имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью fx(t) = p bebt при t < 0 и fx(t) = (1-p)ae-at при t ≥ 0, где 0 < p < 1, a > 0, b > 0 - некоторые параметры.
    а) Вычислить медиану x0,5, моду x  и математическое ожидание Ex случайной величины x.
    б) Для каждого из следующих соотношений привести пример a, b, p, при которых данное соотношение имеет место:     x  < Ex < x0,5;     x  < x0,5 < Ex;    x0,5 < Ex < x ;    Ex < x0,5 < x .
    Указание: для абсолютно непрерывного распределения модой называется любая точка локального максимума плотности; медианой является любая точка x0,5 на оси абсцисс такая, что прямая t = x0,5 делит подграфик плотности fx(t) пополам (на две области площади 0,5).

Вторая контрольная работа по теории вероятностей
1-й вариант 2002 года
для студентов 1 курса ЭФ

  1. Случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами a = -1, s2 = 4. Найти плотность распределения случайной величины h = 1-2x. Найти дисперсию Dh.

  2. Случайная величина x имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вида fx(t) = ct при 0 < t < 5, fx(t) = 0 при t не принадлежащих (0; 5). Вычислить постоянную c и найти
    а) функцию распределения случайной величины x,
    б) т а б л и ц у распределения случайной величины h = [x] (целая часть x).

  3. При одном выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,2 независимо от результатов других выстрелов. Случайная величина x равна количеству попаданий после трех выстрелов, а случайная величина h равна единице, если при первом выстреле произошло попадание, и равна нулю иначе.

    а) Построить таблицу совместного распределения x и h и найти их коэффициент корреляции.
    б) Нарисовать график функции распределения случайной величины h.

  4. Независимые, одинаково распределенные случайные величины x1, ..., xn имеют равномерное распределение на отрезке [1, 2]. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины min{x1,...,xn}.

  5. Случайная величина x имеет показательное распределение с параметром a = 2, случайная величина h - равномерное распределение на отрезке [0; 3], и случайная величина c - распределение Пуассона с параметром 4, причем все эти величины независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины f = x-4hc.

  6. Случайная величина x имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью fx(t) = p bebt при t < 0 и fx(t) = (1-p)ae-at при t ≥ 0, где 0 < p < 1, a > 0, b > 0 - некоторые параметры.
    а) Нарисовать график плотности и вычислить моду x , мат. ожидание Ex. Указать, как положение медианы x0,5 зависит от p.
    б) Привести пример числовых значений a, b, p, при которых Ex < x  < x0,5 (мат. ожидание < моды < медианы).
    в) Привести пример числовых значений a, b, p, при которых x0,5 < x  < Ex (медиана < моды < мат. ожидания).
    Указание: для абсолютно непрерывного распределения модой называется любая точка локального максимума плотности; медианой является любая точка x0,5 на оси абсцисс такая, что прямая t = x0,5 делит подграфик плотности fx(t) пополам (на две области равной площади).

File translated from TEX by TTH, version 2.25.
On 01 May 2002, 18:33.