Решение. Обозначим через вероятность разорения
второго игрока, если у первого начальный капитал равен
рублям.
После каждой партии игра начинается заново, меняется лишь начальный
капитал. Очевидно,
,
и, для
,
где второй игрок разорится
,
партию выиграл второй игрок
,
партию выиграл первый игрок
.
То есть образуют арифметическую прогрессию
с разностью
. Поэтому
.
См., например, Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей».
Решение.
В данной последовательности произойдет бесконечное число
событий в том и только в том случае, если сколь бы большое мы ни взяли,
найдется
такое, что событие
произойдет.
Запишем фразу
в терминах операций над
событиями:
Решение. Общее число исходов равно . Число благоприятных
исходов есть число способов разложить
шара по одному, оставив один
ящик пустым и положив два шара в один ящик.
Выберем два шара
способами, ящик для них
способами,
пустой ящик
способом, остальные
шара разложим
способами.
Ответ: .
Решение.
5.
Есть 2 урны, в каждой по 10 шариков,
причем в какой-то из урн есть красный шар, а остальные 19 шаров белые.
Вероятность того, что красный шар находится во второй урне,
равна 1/3. Вы можете вынимать шар 15 раз (с возвращением).
Сколько раз нужно вынимать шары из первой,
и сколько из второй урны, чтобы вероятность извлечь
красный шар была наибольшей? Примечание: .
Решение. Условимся вынимать шар из первой урны раз, из второй
раз. Требуется минимизировать (по
) вероятность ни разу
не вынуть красный шар. Обозначим это событие через
. Пусть
шар в
-й урне
.
Минимум функции
достигается при
.
Осталось сравнить при
,
и выбрать
,
при котором вероятность «не вынуть красный шар» меньше.
Ответ: .
Решение. Заметим сначала, что при события
и
независимы, поскольку
, а при
события
и
независимы, поскольку
. При всех
При (нарисовать квадрат и убедиться)
и события и
независимы лишь при
.
При
и лишь при
либо
,
так что ни при каком
события
и
не являются независимыми.
Заметим, что при событие
влечет
:
. Стало быть, при таких
события
и
не являются независимыми,
поскольку вероятность
отлична от нуля, а вероятность
от единицы.
Ответ: .
Решение. Условимся вынимать шар из первой урны раз, из второй
раз. Требуется минимизировать (по
) вероятность ни разу
не вынуть красный шар. Обозначим это событие через
. Пусть
шар в
-й урне
.
Минимум функции
достигается при
.
Осталось сравнить при
,
и выбрать
,
при котором вероятность «не вынуть красный шар» меньше.
Ответ: .
Решение. См. 1-й вариант.
Решение. Поскольку вероятность каждой точке попасть в
любую из вертикальных полос одинакова и равна
,
то интересующая нас вероятность равна
.
Ответ. .