Раздел 1. События и их вероятности

1. Пространство элементарных исходов. Определение события. Операции над событиями: объединение, пересечение, дополнение одного события до другого, противоположное событие. Достоверное и невозможное события. Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов. Классическое определение вероятности.

2. Теорема о перемножении шансов². Урновые схемы: выбор с возвращением и без, с учетом порядка и без. Число возможных результатов в каждой из схем выбора (без доказательства в схеме выбора с возвращением без учета порядка). Урновые схемы, удовлетворяющие и не удовлетворяющие классическому определению вероятности. Гипергеометрическое распределение.

3. Геометрическая вероятность. Задача о встрече.

4. Определение и свойства алгебры и s-алгебры событий. Примеры алгебр и s-алгебр (в т. ч. борелевская s-алгебра на прямой). Определение меры. Свойство непрерывности меры. Мера Лебега. Определение вероятностной меры. Свойства вероятности. Вероятность объединения n событий (с док-вом).

5. Условная вероятность. Теорема умножения для n событий (с док-вом). Независимость пары событий. Связь независимости и несовместности. Независимость событий, противоположных к независимым. Независимость в совокупности. Пример Бернштейна. Полная группа событий. Формулы полной вероятности и Байеса.

6. Схема Бернулли. Формула Бернулли для распределения числа успехов. Распределение номера первого успешного испытания в схеме Бернулли. Свойство «нестарения» геометрического распределения.

Раздел 2. Случайные величины и их распределения

1. Определение случайной величины. Примеры отображений, являющихся и не являющихся случайными величинами.

2. Распределение случайной величины. Типы распределений: дискретное, абсолютно непрерывное (и для него свойства плотности распределения, существование случайной величины с заданной плотностью распределения), сингулярное распределения. Смешанное распределение.

3. Дискретные распределения: вырожденное, Бернулли, биномиальное, Пуассона, геометрическое.
4. Примеры абсолютно непрерывных распределений: равномерное, показательное (и для него свойство «нестарения»), гамма, нормальное распределение.

5. Функция распределения. Взаимно-однозначное соответствие распределений и их функций распределения. Свойства функций распределения (с доказательством монотонности и одного из предельных свойств). Свойства функции распределения дискретного распределения. Свойства функции распределения абсолютно непрерывного закона распределения.

6. Изменение плотности при линейных преобразованиях случайных величин. Примеры: показательное, равномерное, нормальное распределения. Квантильное преобразование (построение случайной величины с заданной функцией распределения по равномерно распределённой случайной величине).

7. Свойства нормального распределения: связь со стандартным нормальным распределением, свойства функции распределения, правило «трёх сигм».

8. Функция распределения случайного вектора. Абсолютно непрерывные многомерные распределения. Свойства функции совместного распределения (без док-ва). Свойства плотности совместного распределения. Нахождение частных плотностей по плотности совместного распределения. Вычисление распределения функции от пары случайных величин по плотности совместного распределения. Примеры многомерных распределений: равномерное, нормальное.

Влияние совместного распределения на распределение суммы случайных величин.
9. Определения независимости случайных величин: через совместное распределение, через функцию совместного распределения. Независимость случайных величин с дискретным распределением. Независимость случайных величин с абсолютно непрерывным совместным распределением. Эквивалентность разных определений независимости без док-ва.

10. Формула свертки. Распределения, обладающие свойством устойчивости по суммированию: биномиальное, гамма, распределение Пуассона, нормальное распределение (с док-вом для распределения Пуассона).

11. Математическое ожидание и его свойства (с док-вом в дискретном случае). Пример распределения, у которого не существует математического ожидания. Пример некоррелированных, но зависимых случайных величин.

12. Определения моментов. Определение и свойства дисперсии. Теорема о существовании моментов. Неравенство Йенсена и его следствия. Неравенства для моментов разных порядков.

13. Подсчет математических ожиданий, дисперсий и моментов стандартных распределений (для распределений Бернулли, биномиального, Пуассона, равномерного на отрезке, нормального — математического ожидания и дисперсии, показательного — всех моментов).

14. Ковариация и коэффициент корреляции. Их свойства.

Раздел 3. Предельные теоремы

1. Неравенства Маркова и Чебышёва. Обобщенное неравенство Чебышёва. Доказательство вырожденности в нуле распределения с нулевым абсолютным первым моментом.

2. Определение сходимости «почти наверное». Сходимость по вероятности и ее свойства (с док-вом для предела суммы). Связь сходимости по вероятности со сходимостью «п. н.» (без док-ва). Применение непрерывной функции к сходящейся последовательности (с док-вом в случае сходимости к постоянной).

3. Определение закона больших чисел как свойства последовательности случайных величин. Законы больших чисел в формах Чебышёва, Маркова, Бернулли, Хинчина. УЗБЧ Колмогорова (без док-ва).

4. Сходимость по распределению (слабая сходимость). Свойства слабой сходимости: сходимость произведения (суммы) двух последовательностей, одна из которых слабо сходится, а другая сходится по вероятности к постоянной (без док-ва). Связь слабой сходимости со сходимостью по вероятности (с док-вом в обе стороны). Теорема о двойном пределе. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра — Лапласа. Неравенство Берри — Эссеена (без док-ва).

5. Характеристические функции. Вычисление х.ф. основных распределений. Свойства х.ф.: существование, х.ф. линейного преобразования, х.ф. суммы, связь моментов и производных х.ф. (без док-ва), разложение в ряд (без док-ва). Теорема непрерывности (без док-ва). Доказательство ЗБЧ в форме Хинчина. Доказательство ЦПТ. Доказательство свойств устойчивости относительно суммирования для распределений Пуассона, гамма, биномиального и нормального.

6. Изменение распределения вектора при линейном преобразовании. Линейное преобразование стандартного нормального вектора. Приведение нормального вектора к стандартному нормальному. Поворот нормального вектора. Связь некоррелированности и независимости координат нормального вектора. Пример некоррелированных, но зависимых нормальных случайных величин.

1. Классическое определение вероятности. Комбинаторные формулы: C_n^k, A_n^k, n^k — что они вычисляют.
2. Аксиоматическое определение вероятности: определения сигма-алгебры событий, меры и вероятностной меры. Свойства вероятности, вытекающие из аксиом.
3. Определение независимости двух событий. Определение независимости в совокупности.
4. Формула полной вероятности (с док-вом).
5. Понятие схемы Бернулли. Формула Бернулли (с док-вом).
6. Определение случайной величины. Определение функции распределения. Её свойства.
7. Определение дискретного и абсолютно непрерывного распределений. Свойства плотности распределения. Основные распределения: вырожденное, Бернулли, биномиальное, Пуассона, геометрическое, равномерное, показательное, гамма, нормальное.
8. Свойства нормального распределения (в том числе вычисление его математического ожидания и дисперсии).
9. Определения независимости случайных величин.
10. Определение и свойства математического ожидания.
11. Определение и свойства дисперсии (свойства с док-вом).
12. Определение и свойства ковариации и коэффициента корреляции.
13. Определение сходимости по вероятности. Неравенства Маркова и Чебышёва.
14. Закон больших чисел в форме Чебышёва (с док-вом). Закон больших чисел Бернулли.
15. Определение сходимости по распределению (слабой сходимости).
16. Центральная предельная теорема.

Примечания:

¹ Разбиение по вопросам неравномерное и не соответствует будущему разбиению по билетам

² Все факты и свойства требуется уметь доказывать, если в вопросе не оговорено противное

Доцент, к.ф.-м.н. Чернова Н.И.

тел. 346-73-00, e-mail: cher@nsu.ru