Программа курса

Теория вероятностей и математическая статистика

ЭФ, отделение "Математические методы и исследование операций в экономике"

Теория вероятностей

Математическая статистика

Расчетное задание по математической статистике

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Раздел 1. События и их вероятности

1. Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость. Операции над событиями. Вероятность, аксиомы вероятности.
2. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Урновая схема. Геометрические вероятности. Задача о встрече. Задача Бюффона. Парадокс Бертрана.
3. Простейшие свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Вероятность суммы событий.
4. Общее вероятностное пространство. Пространство элементарных исходов, s-алгебра событий. Вероятностная мера. Дискретное вероятностное пространство.
5. Условные вероятности. Независимость событий. Пример Бернштейна. Вероятность произведения событий. Формулы полной вероятности и Байеса.
6. Схема независимых испытаний. Формулы Бернулли. Биномиальное распределение. Наиболее вероятное число успехов. Распределение Пуассона. Теорема Пуассона. Полиномиальное распределение.

Раздел 2. Случайные величины и распределения

1. Случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения случайных величин. Ряд и плотность распределения, их свойства. Примеры распределений. Нормальное распределение.
2. Независимость случайных величин.
3. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Моменты. Дисперсия. Коэффициент корреляции и его свойства.
4. Многомерные случайные величины (вектора), функция распределения случайного вектора. Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные распределения.

Раздел 3. Предельные теоремы

1. Неравенство Чебышева. Сходимость по вероятности и ее свойства. Закон больших чисел в форме Чебышева.
2. Сходимость по распределению и ее свойства. Связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности. Характеристические функции.
3. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра-Лапласа.

Раздел 4. Цепи Маркова

1. Дискретные цепи Маркова. Переходные вероятности. Классификация состояний.
2. Теорема о солидарности состояний. Критерий возвратности.
3. Стационарное распределение. Эргодичность.
4. Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона. Марковское свойство. Процесс гибели и размножения.

Примерный план семинарских занятий

1. События, операции над ними. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность. ( 6 часов )
2. Свойства вероятности. Условные вероятности. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса. ( 4 часа )
3. Схема Бернулли. Приближение Пуассона. ( 2 часа )
4. Распределения случайных величин: дискретные, абсолютно непрерывные, многомерные. Нормальный закон. ( 6 часов )
5. Числовые характеристики случайных величин и векторов. ( 4 часа )
6. Предельные теоремы. ( 4 часа )
7. Цепи Маркова. ( 4 часа )

Контрольные

• Контрольная работа N1 - 7 неделя (тема - Раздел 1).
• Контрольная работа N2 - 12 неделя (тема - Раздел 2).
• Контрольная работа N3 - 16 неделя (тема - Разделы 3 и 4).
• Экзамен - в экзаменационную сессию.

Литература

[2]  Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М.,1988.

[3]  Д. А. Коршунов, С. Г. Фосс. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. Новосибирск, 1997.

[4]  Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков, А. М. Зубков. Сборник задач по теории вероятностей. М.,1986.

к.ф.-м.н. Чернова Н.И. тел. 46-73-00 cher@nsu.ru

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1. Задачи математической статистики. Основные понятия выборочного метода. Эмпирическая функция распределения, гистограмма, эмпирические моменты. Сходимость эмпирических характеристик к теоретическим.
2. Параметрические семейства распределений. Точечные оценки. Несмещенность, состоятельность оценок. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия. Состоятельность оценок метода моментов.
3. Необходимость и способы сравнения оценок. Среднеквадратический подход. Эффективность оценок. Единственность эффективной оценки в классе с фиксированным смещением. Асимптотически нормальные оценки (АНО). Асимптотическая нормальность и ЦПТ. "Скорость" сходимости оценки к параметру. Асимптотический подход к сравнению оценок.
4. Условия регулярности. Регулярные и нерегулярные семейства распределений. Неравенство Рао-Крамера - способ проверки эффективности оценок. Экспоненциальные семейства.
5. Точные и асимптотические доверительные интервалы. Смысл доверительного оценивания. Способы построения доверительных интервалов: ЦПТ, АНО, сходимость к известному распределению.
6. Распределения, связанные с нормальным: G_{a, l}, H_n Пирсона, Стьюдента T_n, их взаимосвязь и свойства. Лемма Фишера. Свойства выборок из нормальной совокупности. Построение точных доверительных интервалов для параметров нормальной совокупности.
7. Гипотезы и критерии. Постановка задачи о проверке гипотез. Основные виды гипотез. Вероятности ошибок. Мощность критерия. Проверка двух простых гипотез. Способы сравнения критериев. Понятие НМК. Лемма Неймана-Пирсона. Простая гипотеза и сложная альтернатива. Понятие РНМК.
8. Критерии согласия. Общий принцип построения критериев согласия. Понятие состоятельности критерия. Критерии Колмогорова, c² Пирсона. Проверка гипотезы о среднем нормального распределения, гипотезы о равенстве средних двух нормальных совокупностей. Проверка гипотезы случайности.
9. Задачи сравнения двух выборок. Гипотезы однородности, независимости: критерии Смирнова, c² Пирсона.
10. Исследование статистической зависимости. Модель линейной регрессии. Общее представление о методе наименьших квадратов.
11. Байесовское оценивание параметров. Байесовский подход к принятию решений. Статистические решающие функции.

1. Точечные и интервальные оценки параметров. (12 часов)
   Метод моментов и максимального правдоподобия, сравнение оценок в соответствии со среднеквадратическим подходом, асимптотически нормальные оценки и асимптотический подход к сравнению оценок, эффективные оценки, неравенство Рао-Крамера, построение точных и асимптотических доверительных интервалов.
2. Проверка статистических гипотез. (6 часов)
   Критерии, ошибки, понятие НМК, лемма Неймана-Пирсона, рандомизированные критерии, критерии согласия. Решающие функции.

Контрольные работы и задания

• Контрольная работа N1 - 11 неделя (темы 1-4).
• Контрольная работа N2 - 17 неделя (темы 5-9).
• Расчетное задание вместе с коллоквиумом по лекционному материалу принимают преподаватели, ведущие практические занятия.
• Оценка по дифференцированному зачету есть среднее арифметическое трех полученных оценок.

Расчетное задание

A. Дана выборка No. 1 объема 50 из неизвестного распределения.

1.   Построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму.
2.   Выдвинуть гипотезу о распределении (возможный набор: U_1,q, U_-q,1, N_a,1, распределение с.в. q+x, где x имеет распределение E₁, распределение с.в. -q+ x, где x имеет распределение E₁).
3.  Найти методом моментов и максимального правдоподобия теоретические оценки для неизвестных параметров распределения (в соответствии с выдвинутой гипотезой). Исследовать свойства этих оценок.
4.  Построить доверительные интервалы уровня доверия 1-0.05 для неизвестных параметров распределения (в соответствии с выдвинутой гипотезой).
5.  Проверить выдвинутую гипотезу по критерию Колмогорова с критическим уровнем 0.1 (в качестве параметра распределения взять оценку максимального правдоподобия).
6.   Проверить выдвинутую гипотезу по критерию c² с критическим уровнем 0.1.

B. Предположим, что первые 5 чисел первой выборки есть выборка объема 5 из нормального распределения с неизвестными параметрами.

1.  Построить точный доверительный интервал для a при неизвестном s² уровня доверия 1-e.
2.  Построить точный доверительный интервал для s² при неизвестном a уровня доверия 1-e.
Решить эту задачу при двух значениях e: e₁ = 0.25, e₂ = 1/(5+2[Y₁]), где Y₁ из задачи C (отбросить у e₂ третий знак после запятой).

C. Имеется выборка No. 2 - выборка (X,Y) объема 20.

1.  Проверить по критерию c² с критическим уровнем 0.05 независимость X и Y.
2.  Предполагая, что зависимость Y от X линейная (Y = q₁ + q₂ X+e), найти ОМНК для коэффициентов регрессии. Нарисовать линию регрессии.

к.ф.-м.н. Чернова Н.И. тел. 46-73-00 cher@nsu.ru