МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ММФ, 6-й семестр, лектор: профессор
И.С.Борисов
-
Основные статистические задачи. Выборка. Выборочное (эмпирическое)
распределение и выборочные характеристики: среднее, дисперсия, моменты.
Вариационный ряд и эмпирическая функция распределения. Группировка наблюдений,
гистограммы ( [ 1 ], [ 2 ] ).
-
Вполне ограниченные классы множеств. Теоремы Гливенко-Кантелли. Сходимость
выборочных характеристик к истинным ( [ 1 ], [ 2 ] ).
-
Параметрические семейства распределений. Понятие плотности относительно
некоторой меры. Классические семейства распределений
( [ 1 ] ).
-
Понятие оценки неизвестного параметра. Состоятельные оценки. Несмещенные
и асимптотически несмещенные оценки. Принцип подстановки и метод моментов
( [ 1 ] ).
-
Асимптотически нормальные оценки (АНО) и их сравнение. АНО для функций от
параметров. Теорема о суперпозиции. Выборочные моменты как АНО. Состоятельность
АНО ( [ 1 ] ).
-
Функция правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия (ОМП).
Состоятельность ОМП ( [ 1 ], [ 2 ] ).
-
Достаточные статистики. Факторизационная теорема Неймана - Фишера
( [ 1 ], [ 2 ] ).
-
Сравнение оценок. Эффективные оценки. Улучшение оценок с помощью
достаточных статистик. Полнота и эффективность оценок
( [ 1 ] ).
-
Байесовские и минимаксные оценки ( [ 1 ] ). Состоятельность
байесовских оценок.
-
Неравенство Рао - Крамера. R-эффективные оценки и их связь с ОМП.
-
Критерий R-эффективности ( [ 1 ] ).
-
Доверительные интервалы (точные и асимптотические). Принцип построения.
Асимптотические доверительные интервалы, построенные с помощью АНО
( [ 1 ] ).
-
Доверительные интервалы для классических семейств распределений с
одномерным параметром ( [ 1 ] ).
-
Распределения "хи-квадрат" и Стьюдента. Лемма Фишера
( [ 1 ] ).
-
Точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения
( [ 1 ] ).
-
Основные понятия теории проверки конечного числа гипотез: простые и
сложные гипотезы, критерии (статистические решающие функции), вероятности
ошибок i-го рода. Естественное сравнение
критериев, несуществование наилучшего в классе всех критериев
( [ 1 ], [ 2 ] ).
-
Байесовские критерии для проверки конечного числа простых гипотез
( [ 1 ] ).
-
Проверка двух простых гипотез. Наиболее мощные критерии.
Теорема Неймана - Пирсона ( [ 1 ], [ 4 ] ).
-
Равномерно наиболее мощные критерии для проверки простых гипотез
против сложных альтернатив. Экспоненциальные семейства распределений
( [ 1 ] ).
-
Принцип минимального расстояния. Критерии согласия. Непараметрические
критерии. Критерии Колмогорова и "омега квадрат"
( [ 1 ], [ 2 ] ).
-
Критерий "хи-квадрат" для проверки простых и сложных гипотез. Теорема
Пирсона
( [ 1 ], [ 2 ], [ 4 ] ).
-
Построение критериев согласия с помощью доверительных интервалов
( [ 1 ] ).
-
Двувыборочные критерии Колмогорова - Смирнова и Стьюдента
( [ 1 ], [ 2 ] ).
-
Критерий "хи-квадрат" в задаче о сопряженных признаках
( [ 1 ], [ 2 ], [ 4 ] ).
ЛИТЕРАТУРА
- Боровков А.А.
Математическая статистика. Учебное пособие,
Ч.I,II, - Изд-во НГУ, 1983, 1984.
- Боровков А.А.
Математическая статистика (Оценка параметров.
Проверка гипотез). М.: Наука, 1984.
- Боровков А.А.
и др. Сборник задач по математической статистике.
Новосибирск: Изд-во НГУ, 1989.
- Крамер Г. Математические методы статистики.
М.: Мир, 1975.
- Коршунов Д.А.,
Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по
математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им.
С.Л.Соболева СО РАН, 2001.
Программу составил
профессор
И.С.Борисов
Previous: Теория вероятностей