Программа специального курса

ТЕОРИЯ МАРТИНГАЛОВ


Глава 1. Теория мартингалов

  1. Условные математические ожидания: определение, существование и единственность, основные свойства.
  2. Теоремы о предельном переходе под знаком условного математического ожидания.
  3. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Определения и основные свойства. Примеры.
  4. Разложение Дуба. Разложение Крикеберга.
  5. Моменты остановки. Теоремы об оптимальной остановке.
  6. Основные неравенства.
  7. Неравенство Дуба для числа пересечений полосы. Основная теорема сходимости субмартингалов.
  8. Равномерная интегрируемость: определение и основные свойства.
  9. Основная теорема сходимости для равномерно интегрируемых последовательностей.
  10. Равномерно интегрируемые мартингалы.
  11. Обращённые мартингалы.
  12. Мартингалы: непрерывное время.

Глава 2. Броуновское движение

  1. Гауссовские процессы.
  2. Броуновское движение (винеровский процесс): определение и основные свойства.
  3. Построение непрерывного броуновского движения.
  4. Свойства траекторий: недифференцируемость траекторий броуновского движения, марковское свойство, закон повторного логарифма.

Глава 3. Введение в стохастическое интегрирование

  1. Конструкция Ито стохастического интеграла. Свойства стохастического интеграла.
  2. Формула замены переменных Ито.
  3. Стохастические дифференциальные уравнения.

Литература


  1. Бакланов Е. А. Дополнительные главы теории вероятностей. Новосибирск: НГУ, 2014.
  2. Бородин А. Н. Случайные процессы. СПб.: Издательство «Лань», 2013.
  3. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.
  4. Gut, A. Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, New York, 2005.
  5. Le Gall, J-F. Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus. Springer, 2016.
  6. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Москва: Мир, 2003.
  7. Ширяев А. Н. Вероятность: В 2-х т. - М.: МЦНМО, 2004.


Лектор – к.ф.-м.н. Е. А. Бакланов


Last updated: January 10, 2021

Flag Counter