Программа специального курса

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Глава 1. Введение в стохастическое исчисление

1. Условные математические ожидания: определение, существование и единственность. Основные свойства. Примеры.
2. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Определения и основные свойства. Примеры. Разложение Дуба. Моменты остановки. Основные неравенства. Теоремы сходимости. Равномерно интегрируемые мартингалы.
3. Броуновское движение (винеровский процесс): определение и основные свойства. Построение непрерывного броуновского движения. Свойства траекторий. Распределение максимума броуновского движения. Геометрическое броуновское движение. Квадратичная вариация броуновского движения.
4. Конструкция Ито стохастического интеграла. Свойства стохастического интеграла. Формула замены переменных Ито. Процесс Ито. Квадратичная вариация интеграла Ито и процесса Ито. Броуновский мост. Представление геометрического броуновского движения в виде процесса Ито.

Глава 2. Стохастические финансовые модели с дискретным временем

1. Основные понятия и задачи финансовой математики. (B, S)-рынок. Портфель ценных бумаг. Условие самофинансируемости. Безарбитражность. Верхние и нижние цены хеджирования. Полные и неполные рынки. Пример полного рынка — CRR модель.
2. Мартингальные критерии отсутствия арбитражных возможностей и полноты рынка. Первая и вторая фундаментальные теоремы финансовой математики.
3. Опционы европейского и американского типа.

Глава 3. Стохастические финансовые модели с непрерывным временем

1. Расчёт стоимости производных ценных бумаг в непрерывном случае. Формула Башелье. Модель Блэка–Шоулса. Уравнение Блэка–Шоулса и его решение.
2. Формула Блэка–Шоулса как предельный случай дискретной формулы Кокса–Росса–Рубинштейна. Формула Блэка–Шоулса как решение стохастического дифференциального уравнения.
3. Теорема Гирсанова для броуновского движения. Риск-нейтральная мера и теорема Гирсанова в общем случае. Вывод формулы Блэка–Шоулса с помощью теоремы Гирсанова.

Литература

1. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.
   
2. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. Москва: Мир, 2003.
   
3. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2-х т. М.: Фазис, 1998.
   
4. Baxter M. W., Rennie A J. O. Financial Calculus. An introduction to derivative pricing. Cambridge University Press, Cambridge 2001.
   
5. Shreve S. Stochastic Calculus for Finance I, II. Springer, 2004.
   
6. Steele M. Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer, 2001.

Лектор – к.ф.-м.н. Е. А. Бакланов

Last updated: September 29, 2020